已知P为△ABC内任意一点，连AP，BP，CP并延长分别交对边于D，E，F．求证：（1）PDAD+PEBE+PFCF=1（2）APAD，BPPE，CPPF三者中，至少有一个不大于2，也至少有一个不少于2．

Question

已知P为△ABC内任意一点，连AP，BP，CP并延长分别交对边于D，E，F．
求证：（1）(PD)/(AD)+(PE)/(BE)+(PF)/(CF)=1
（2）(AP)/(AD)，(BP)/(PE)，(CP)/(PF)三者中，至少有一个不大于2，也至少有一个不少于2．

Answer 1

（1）由面积概念得：
S_△PBC+S_△PAC+S_△PAB=S_△ABC①
整理等式得：
(S△PBC)/(S△ABC)+(S△PAC)/(S△ABC)+(S△PAB)/(S△ABC)=1，②
由面积概念得：
(S△PDC)/(S△ADC)=(PD)/(AD)，(S△PDB)/(S△ADB)=(PD)/(AD)，
∴(S△PDC+S△PDB)/(S△ADC+S△ADB)=(PD)/(AD)，
即(S△PBC)/(S△ABC)=(PD)/(AD)③
同理得：
(S△PAC)/(S△ABC)=(PE)/(BE)④
(S△PAB)/(S△ABC)=(PF)/(CF)⑤
把式③、④、⑤、代入式②得：
(PD)/(AD)+(PE)/(BE)+(PF)/(CF)=1；

（2）由(PD)/(AD)+(PE)/(BE)+(PF)/(CF)=1，知

PD

作业帮用户 2017-10-16

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