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如图1,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为C(1,4),交x轴于A、B两点,交y轴于点D,其中点B的坐标为(3,0).(1)求抛物线的解析式;(2)如图2,点M在y轴负半轴上,且M(0,-1).在抛物
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如图1,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为C(1,4),交x轴于A、B两点,交y轴于点D,其中点B的坐标为(3,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图2,点M在y轴负半轴上,且M(0,-1).在抛物线上是否存在点N,使以B、A、M、N为顶点的四边形是梯形?若存在,请求出点N的坐标;不存在,说明理由.
(3)如图3,过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F,其中点E的横坐标为2,若直线PQ为抛物线的对称轴,点G为直线PQ上的一动点,则x轴上是否存在一点H,使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小?若存在,请画出图形,并求出点G、H的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图2,点M在y轴负半轴上,且M(0,-1).在抛物线上是否存在点N,使以B、A、M、N为顶点的四边形是梯形?若存在,请求出点N的坐标;不存在,说明理由.
(3)如图3,过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F,其中点E的横坐标为2,若直线PQ为抛物线的对称轴,点G为直线PQ上的一动点,则x轴上是否存在一点H,使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小?若存在,请画出图形,并求出点G、H的坐标;若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)设所求抛物线的解析式为:y=a(x-1)2+4,
将点B(3,0)代入,得:a(3-1)2+4=0
解得:a=-1,
∴解析式为:y=-(x-1)2+4;
(2)如图2,当MN∥AB时,
∵0=-(x-1)2+4;
∴x1=-1,x2=3,
∴AB=4,
∵M(0,-1),
∴-1=-(x-1)2+4,
解得:x1=1+
,x2=1-
,
∴MN=
-1≠AB,MN′=1+
≠AB,
∴此时四边形ANMB是梯形,四边形AMN′B是梯形,N(1-
,-1),N′(-1-
,-1),
当AM∥BN″时,
∵A(-1,0),M(0,-1),设直线AM的解析式为y=kx+b,
则
将点B(3,0)代入,得:a(3-1)2+4=0
解得:a=-1,
∴解析式为:y=-(x-1)2+4;
(2)如图2,当MN∥AB时,
∵0=-(x-1)2+4;
∴x1=-1,x2=3,
∴AB=4,
∵M(0,-1),
∴-1=-(x-1)2+4,
解得:x1=1+
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∴MN=
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∴此时四边形ANMB是梯形,四边形AMN′B是梯形,N(1-
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当AM∥BN″时,
∵A(-1,0),M(0,-1),设直线AM的解析式为y=kx+b,
则
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