m，n是正整数，整式f（x）=（1+x）m+（1+x）n中x的一次项的系数的和为17，求：（1）f（x）中x2项的系数的最小值；（2）对（1）中求相应的m，n的值，并求出x5的系数．

Question

m，n 是正整数，整式f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ中x的 一次项的系数的和为17，
求：（1）f（x）中x²项的系数的最小值；
（2）对（1）中求相应的m，n的值，并求出x⁵的系数．

Answer 1

（1）∵m，n 是正整数，整式f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ中x的 一次项的系数的和为17，
∴m+n=17，n=17-m，
∴f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ中x²项的系数为：

C

2 m

+

C

2 n

=(m(m−1))/(2)+(n(n−1))/(2)=(1)/(2)[m²+（17-m）²]-(17)/(2)=(1)/(2)×2（m²-17m）+136=(m−(17)/(2))2+(255)/(4)，
∵m，n 是正整数，故当m=8或m=9时，

C

2 m

+

C

2 n

有最小值64；
（2）当m=8，n=9，x⁵的系数为：

C

5 8

+

C

5 9

=

C

3 8

+

C

4 9

=56+126=182，
当m=9，n=8，x⁵的系数为：

C

5 9

+

C

5 8

=182．