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设f(x)在x=a处连续,φ(x)在x=a处间断,又f(a)≠0,则()A.φ[f(x)]在x=a处间断B.f[φ(x)]在x=a处间断C.[φ(x)]2在x=a处间断D.φ(x)f(x)在x=a处间断
题目详情
设f(x)在x=a处连续,φ(x)在x=a处间断,又f(a)≠0,则( )A. φ[f(x)]在x=a处间断
B. f[φ(x)]在x=a处间断
C. [φ(x)]2在x=a处间断
D.
在x=a处间断
B. f[φ(x)]在x=a处间断
C. [φ(x)]2在x=a处间断
D.
φ(x) |
f(x) |
▼优质解答
答案和解析
选项D正确,可以用反证法进行证明:
假设
在x=a处不间断,即
在x=a处连续,
则
存在,且
=
.
从而,
φ(x)=
f(x)=
f(a)=φ(a),
故φ(x)在x=a处连续,与已知条件矛盾,
故
在x=a处间断.
选项A、B、C均不正确.
A的反例:取f(x)=1,φ(x)=sgnx 在x=0处间断,但φ[f(x)]=1 在x=0处连续.
B的反例:取f(x)=1,φ(x)=sgnx 在x=0处间断,但f[φ(x)]=1 在x=0处连续.
C的反例:取φ(x)=
在x=0处间断,但[φ(x)]2=1在x=0处连续.
综上,正确选项为:D.
故选:D.
假设
φ(x) |
f(x) |
φ(x) |
f(x) |
则
lim |
x→a |
φ(x) |
f(x) |
lim |
x→a |
φ(x) |
f(x) |
φ(a) |
f(a) |
从而,
lim |
x→a |
lim |
x→a |
φ(x) |
f(x) |
lim |
x→a |
φ(a) |
f(a) |
故φ(x)在x=a处连续,与已知条件矛盾,
故
φ(x) |
f(x) |
选项A、B、C均不正确.
A的反例:取f(x)=1,φ(x)=sgnx 在x=0处间断,但φ[f(x)]=1 在x=0处连续.
B的反例:取f(x)=1,φ(x)=sgnx 在x=0处间断,但f[φ(x)]=1 在x=0处连续.
C的反例:取φ(x)=
|
综上,正确选项为:D.
故选:D.
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