对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：f′（x）是函数f（x）的导函数，f∥（x）是f′（x）的导函数，若方程f∥（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点

Question

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），给出定义：f′（x）是函数f（x）的导函数，f^∥（x）是f′（x）的导函数，若方程f^∥（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心． 若f（x）=(1)/(3)x³-(1)/(2)x²+3x-(5)/(12)，请你根据这一发现，求：
（1）函数f（x）=(1)/(3)x³-(1)/(2)x²+3x-(5)/(12)的对称中心为

（(1)/(2)，1）

（(1)/(2)，1）

；
（2）f（(1)/(2016)）+f（(2)/(2016)）+…+f（(2015)/(2016)）=______．

Answer 1

（1）f′（x）=x²-x+3，f^″（x）=2x-1，
令f^″（x）=0，解得x=(1)/(2)．
f((1)/(2))=(1)/(3)×((1)/(2))3−(1)/(2)×((1)/(2))2+3×(1)/(2)−(5)/(12)=1．
∴函数f（x）的对称中心为((1)/(2)，1)．
（2）由于函数f（x）的对称中心为((1)/(2)，1)．
∴f（1-x）+f（x）=2．
∴f（(1)/(2016)）+f（(2)/(2016)）+…+f（(2015)/(2016)）
=(1)/(2)[f((1)/(2016))+f((2015)/(2016))+f((2)/(2016))+f((2014)/(2016))+…+f((2015)/(2016))+f((1)/(2016))]
=(1)/(2)(2×2015)
=2015．
故答案为：2015．