（2014•泸州三模）已知圆O1：x2+y2-4x+3=0，O2：x2+y2+4x-45=0，圆心为P的动圆C与圆O1外切，且与圆O2内切．（Ⅰ）判断点P的轨迹为何种曲线，并求出其方程；（Ⅱ）已知点M（2，3），点N（2，1），

Question

（2014•泸州三模）已知圆O₁：x²+y²-4x+3=0，O₂：x²+y²+4x-45=0，圆心为P的动圆C与圆O₁外切，且与圆O₂内切．
（Ⅰ）判断点P的轨迹为何种曲线，并求出其方程；
（Ⅱ）已知点M（2，3），点N（2，1），若平行于ON（O为坐标原点）的直线l₁交点P的轨迹于A、B两点，求证：直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

Answer 1

（Ⅰ）设动圆半径为r，则
圆O₁：x²+y²-4x+3=0，可化为（x-2）²+y²=1；O₂：x²+y²+4x-45=0，可化为（x+2）²+y²=49，
∵圆心为P的动圆C与圆O₁外切，且与圆O₂内切，
∴|PO₂|=7-r，|PO₁|=1+r，
∴|PO₂|+|PO₁|=8＞4=|O₁O₂|，
∴点P的轨迹是以O₁，O₂为焦点的椭圆，且a=4，c=2，
∴b=√(a2−c2)=2√(3)，
∴椭圆方程为(x2)/(16)+(y2)/(12)＝1；
（Ⅱ）证明：由直线l∥ON，设l：y=(1)/(2)x+m，
将式子代入椭圆C得：x²+mx+m²-12=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-m，x₁x₂=m²-12，
设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，
则k₁+k₂=(y1−3)/(x1−2)+(y2−3)/(x2−2)=(x1x2+(m−4)(x1+x2)−4m+12)/((x1−2)(x2−2))=0，
故直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．