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△ABC是边长为4的等边三角形,在射线AB和BC上分别有动点P、Q,且AP=CQ,连接PQ交直线AC于点D,作PE⊥AC,垂足为E.(1)如图,当点P在边AB(与点A、B不重合)上,问:①线段PD与线段DQ之间有
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△ABC是边长为4的等边三角形,在射线AB和BC上分别有动点P、Q,且AP=CQ,连接PQ交直线AC于点D,作PE⊥AC,垂足为E.
(1)如图,当点P在边AB(与点A、B不重合)上,问:
①线段PD与线段DQ之间有怎样的大小关系?试证明你的结论.
②随着点P、Q的移动,线段DE的长能否确定?若能,求出DE的长;若不能,简要说明理由;
(2)当点P在射线AB上,若设AP=x,CD=y,求:
①y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围;
②当x为何值时,△PCQ的面积与△ABC的面积相等.
(1)如图,当点P在边AB(与点A、B不重合)上,问:
①线段PD与线段DQ之间有怎样的大小关系?试证明你的结论.
②随着点P、Q的移动,线段DE的长能否确定?若能,求出DE的长;若不能,简要说明理由;
(2)当点P在射线AB上,若设AP=x,CD=y,求:
①y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围;
②当x为何值时,△PCQ的面积与△ABC的面积相等.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:①作PG∥BC交AC于G,DH∥AB交BQ于H,
∵△ABC是边长为4的等边三角形,
∴△DHC,△APG为等边三角形,
∵AP=CQ,
∴PG=CQ,∠PGC=∠DCQ=120°,
∵∠GPD=∠Q,
∵△PDG≌△QDC,
∴DP=DQ,
②能确定,
∵PE⊥AC,
∴AE=EG,
∵GD=DC,AB=BC=AC=4,
∴GD+EG+AE+DC=4,
∵2(GD+EG)=4,
即DE=2;
(2)①∵PD=DQ,DH∥AB,AP=x,CD=y,
∴DH=
BP,
∵AB=4,
∴BP=4-x或BP=x-4,
∴y=
(4-x)=2-
x(0<x≤4)或y=
x-2(x>4),
②当0<x≤4时,无解,
当x>4时,
∵PE⊥AC,∠A=60°AP=x,
∴PE=sin60°×x=
x,
∵AB=BC=AC=4,
∴S△ABC=4
,
∵PD=DQ,
∴结合图形可知S△PCQ=2S△PDC=2×
,
∴2×
=4
,
∴(
x-2)×
x=4
,
化简得:x2-4x-16=0,
解得:x1=2-2
∵△ABC是边长为4的等边三角形,
∴△DHC,△APG为等边三角形,
∵AP=CQ,
∴PG=CQ,∠PGC=∠DCQ=120°,
∵∠GPD=∠Q,
∵△PDG≌△QDC,
∴DP=DQ,
②能确定,
∵PE⊥AC,
∴AE=EG,
∵GD=DC,AB=BC=AC=4,
∴GD+EG+AE+DC=4,
∵2(GD+EG)=4,
即DE=2;
(2)①∵PD=DQ,DH∥AB,AP=x,CD=y,
∴DH=
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∵AB=4,
∴BP=4-x或BP=x-4,
∴y=
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②当0<x≤4时,无解,
当x>4时,
∵PE⊥AC,∠A=60°AP=x,
∴PE=sin60°×x=
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∵AB=BC=AC=4,
∴S△ABC=4
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∵PD=DQ,
∴结合图形可知S△PCQ=2S△PDC=2×
y•PE |
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∴2×
y•PE |
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∴(
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化简得:x2-4x-16=0,
解得:x1=2-2
作业帮用户
2016-11-23
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