已知三角形ABC为等边三角形,AB=6,P是AB上的一个动点（与A,B不重合）,过点P作AB的垂线与BC相交于点D,已知△ABC为等边三角形,AB=6,P是AB边上的一个动点（与A、B不重合）,过P作AB的垂线与BC相交于D

Question

已知三角形ABC为等边三角形,AB=6,P是AB上的一个动点（与A,B不重合）,过点P作AB的垂线与BC相交于点D,
已知△ABC为等边三角形,AB=6,P是AB边上的一个动点（与A、B不重合）,过P作AB的垂线与BC相交于D点,以点D为正方形的一个顶点,在△ABC内作正方形DEFG,其中D、E在BC上,F在AC上.
（1）设BP的长为x ,正方形DEFG的边长为y,写出y关于x的函数解析式及定义域；
（2）当BP=2时,求CF的长；
（3）△GDP是否可能成为直角三角形?若能,求出BP的长；
若不能,请说明理由.

Answer 1

：（1）∵△ABC为等边三角形,
∴∠B=∠C=60°,AB=BC=AC=6．（1分）
∵DP⊥AB,BP=x,
∴BD=2x．（1分）
又∵四边形DEFG是正方形,
∴EF⊥BC,EF=DE=y
∴EC=
3

3
y．（1分）
∴2x+y+
3

3
y=6,（2分）
∴y=(
3
-3)x+9-3
3
．（1分）
（6-3
3
≤x＜3）（1分）
（2）当BP=2时,y=(
3
-3)×2+9-3
3
=3-
3
．（1分）
CF=
2y
3

=2
3
-2．（1分）
（3）△GDP能成为直角三角形．（1分）
①∠PGD=90°时,
6-x=
3
y+y,6-x=(
3
+1)•[(
3
-3)x+9-3
3
],
得到：x=
30-6
3

11
．（2分）
②∠GPD=90°时,G在AB上,参照（1）．