等边三角形ABC的边长为2,动点PQ在线段BC上移动（都不与BC重合）,点P在点Q的左边,PQ为1,过点P作PQ垂直于CB交AC于点M,过点Q作QN垂直于CB交AB于点N,连接MN,记CP的长为t（1）.当t为何值时,四边形MPQN是

Question

等边三角形ABC的边长为2,动点PQ在线段BC上移动（都不与BC重合）,点P在点Q的左边,PQ为1,过点P作PQ垂直于CB交AC于点M,过点Q作QN垂直于CB交AB于点N,连接MN ,记CP的长为t
（1）.当t为何值时,四边形MPQN是矩形?
(2).设次变形MPQN的面积为S,请说明当P,Q移动时,S是否为定值?若是求出这个定值；若不是,请求出S关于t的函数解析式
（3）.当t为何值时,点CPM为顶点的三角形与以AMN为顶点的三角形相似?判断此时三角形MNP的形状,并说明理由.
我又不能发图片
OK?

Answer 1

（1）MP=PC*tan60=t*(根号3),QN=BQtan60=(3-t)*(根号3).
MPQN 是矩形 MP=QN t(根号3)=(3-t)(根号3) t=3/2.
（2）S=PQ(MP+QN)/2=1*[t*根号3+(3-t)*根号3)/2=3/2 是定值.
（3）三角形CPM是有一个锐角为30度的直角三角形,三边的长度依次为 t,
t*根号3,2t.
三角形AMN要想与CPM相似.也必须是这种形状的三角形,其中
AM=CM-AC=CM-2=2t-2
AN=NB-AB=NB-2=2(BQ)-2=2(3-t)-2=4-2t
上述两三角形相似,则有AM=2AN 或 AN=2AM.[注意角MAN=60度]
由此得到 t=5/3 或 t=4/3.
[此时三角形PMN的形状请你自己做吧]