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我们可以定义:有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”.问题探究(1)如图①已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC>BC,试在△ABC内或边上确定一点P,使△BCP为等腰三角形.(2)如图②,
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我们可以定义:有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”.
问题探究
(1)如图①已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC>BC,试在△ABC内或边上确定一点P,使△BCP为等腰三角形.
(2)如图②,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,点M、N分别在AD、CD上,且∠MBN=60°,试判断四边形DMBN是否为“等邻边四边形”?并说明理由.
尝试应用
(3)现有一个矩形材料ABCD,工程人员需要将其制作成一个“等邻边四边形”面板,如图③,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6.5,点E在BC上,且BE=3,在矩形ABCD内或者边上,确定一点P,使四边形ABEP为面积最大的“等邻边四边形”,若能实现,请求出最大面积,若不能实现,试说明理由.
问题探究
(1)如图①已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC>BC,试在△ABC内或边上确定一点P,使△BCP为等腰三角形.
(2)如图②,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,点M、N分别在AD、CD上,且∠MBN=60°,试判断四边形DMBN是否为“等邻边四边形”?并说明理由.
尝试应用
(3)现有一个矩形材料ABCD,工程人员需要将其制作成一个“等邻边四边形”面板,如图③,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6.5,点E在BC上,且BE=3,在矩形ABCD内或者边上,确定一点P,使四边形ABEP为面积最大的“等邻边四边形”,若能实现,请求出最大面积,若不能实现,试说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)如图①中,
①以B为圆心,BC为半径画弧交AB于P,此时△PBC是等腰三角形.
②以C为圆心,BC为半径画弧交AC于P′,此时△P′BC是等腰三角形.
③作线段BC的垂直平分线垂足为F,交AB于E.线段EF上点,都满足条件.
(2)结论:四边形DMBN是“等邻边四边形“.
理由:如图②中,连接BD.
∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=120°,
∴∠ABD=∠CBD=60°,AB=BC=CD=AD,
∴△ABD,△BCD都是等边三角形,
∴BD=DC,∠MDB=∠C=60°,
∵∠MBN=∠DBC=60°,
∴∠MBD=∠NBC,
∴△MBD≌△NBC,
∴MB=BN,
∴四边形DMBN是“等邻边四边形“.
(3)能实现.
理由:如图③中,
①以A为圆心,AB为半径画弧,当点P在
(不包括点I)上时,四边形ABEP是“等邻边四边形“,点P在AD上时,四边形ABEP的面积的最大值为
×4×3+
×4×4=14.
②以E为圆心,EB为半径画弧,当点P在
(不包括点H和点T)上时,四边形ABEP是“等邻边四边形“,P′E⊥AE,AE=5,P′E=3
四边形ABEP的面积的最大值为
×4×3+
×5×3=13.5,
综上所述,等邻边四边形ABEP的面积的最大值为14.
①以B为圆心,BC为半径画弧交AB于P,此时△PBC是等腰三角形.
②以C为圆心,BC为半径画弧交AC于P′,此时△P′BC是等腰三角形.
③作线段BC的垂直平分线垂足为F,交AB于E.线段EF上点,都满足条件.
(2)结论:四边形DMBN是“等邻边四边形“.
理由:如图②中,连接BD.
∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=120°,
∴∠ABD=∠CBD=60°,AB=BC=CD=AD,
∴△ABD,△BCD都是等边三角形,
∴BD=DC,∠MDB=∠C=60°,
∵∠MBN=∠DBC=60°,
∴∠MBD=∠NBC,
∴△MBD≌△NBC,
∴MB=BN,
∴四边形DMBN是“等邻边四边形“.
(3)能实现.
理由:如图③中,
①以A为圆心,AB为半径画弧,当点P在
PI |
1 |
2 |
1 |
2 |
②以E为圆心,EB为半径画弧,当点P在
HT |
四边形ABEP的面积的最大值为
1 |
2 |
1 |
2 |
综上所述,等邻边四边形ABEP的面积的最大值为14.
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