设点P为函数f（x）=12x2+2ax与g（x）=3a2lnx+2b（a＞0）图象的公共点，以P为切点可作直线l与两曲线都相切，则实数b的最大值为34e2334e23．

Question

设点P为函数f（x）=(1)/(2)x²+2ax与g（x）=3a²lnx+2b（a＞0）图象的公共点，以P为切点可作直线l与两曲线都相切，则实数b的最大值为

(3)/(4)e(2)/(3)

(3)/(4)e(2)/(3)

．

Answer 1

设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点P（x₀，y₀）处的切线相同、
f′（x）=x+2a，g′（x）=(3a2)/(x)，
由题意f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀），
即(1)/(2)x₀²+2ax₀=3a²lnx₀+2b，x₀+2a=(3a2)/(x0)
由x₀+2a=x₀+2a=(3a2)/(x0)得x₀=a或x₀=-3a（舍去），
即有2b=(1)/(2)a²+2a²-3a²lna=(5)/(2)a²-3a²lna．
令h（t）=(5)/(2)t²-3t²lnt（t＞0），则h′（t）=2t（1-3lnt）、
于是当t（1-3lnt）＞0，即0＜t＜e(1)/(3)时，h′（t）＞0；
当t（1-3lnt）＜0，即t＞e(1)/(3)时，h′（t）＜0．
故h（t）在（0，e(1)/(3)）为增函数，在（e(1)/(3)，+∞）为减函数，
于是h（t）在（0，+∞）的最大值为h（e(1)/(3)）=(3)/(2)e(2)/(3)，
故b的最大值为(3)/(4)e(2)/(3)．
故答案为：(3)/(4)e(2)/(3)．