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函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的一段图象如图所示.(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)的单调减区间,并指出f(x)的最大值及取到最大值时x的集合;(3)把f(x)的图
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函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的一段图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)的单调减区间,并指出f(x)的最大值及取到最大值时x的集合;
(3)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位,才能使得到的图象对应的函数为偶函数?
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)的单调减区间,并指出f(x)的最大值及取到最大值时x的集合;
(3)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位,才能使得到的图象对应的函数为偶函数?
▼优质解答
答案和解析
(1)由图可求得A,由T=π可求ω,x=-时,y=0,可求φ;
(2)由2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈Z)可求函数f(x)的单调减区间,继而可得函数f(x)的最大值及取到最大值时x的集合;
(3)利用诱导公式,可将f(x)=sin(2x+)转化为f(x)=cos2(x-),从而可得答案.
【解析】
(1)从图知,函数的最大值为1,
则A=1,函数f(x)的周期为T=4×(+)=π,而T=,则ω=2,
又x=-时,y=0,
∴sin(2×(-)+φ)=0,而|φ|<,则φ=,
∴函数f(x)的表达式为f(x)=sin(2x+)…(4分)
(2)由2kπ+≤2x+≤2kπ+得:
kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),
∴函数f(x)的单调减区间为[kπ+,kπ+](k∈Z).
函数f(x)的最大值为1,取到最大值时x的集合为{x|x=kπ+,k∈Z}…7分
(3)f(x)=sin(2x+)
=cos[-(2x+)]
=cos(2x-)
=cos2(x-),
故至少左移个单位,才能使得到的图象对应的函数为偶函数…10分
(2)由2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈Z)可求函数f(x)的单调减区间,继而可得函数f(x)的最大值及取到最大值时x的集合;
(3)利用诱导公式,可将f(x)=sin(2x+)转化为f(x)=cos2(x-),从而可得答案.
【解析】
(1)从图知,函数的最大值为1,
则A=1,函数f(x)的周期为T=4×(+)=π,而T=,则ω=2,
又x=-时,y=0,
∴sin(2×(-)+φ)=0,而|φ|<,则φ=,
∴函数f(x)的表达式为f(x)=sin(2x+)…(4分)
(2)由2kπ+≤2x+≤2kπ+得:
kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),
∴函数f(x)的单调减区间为[kπ+,kπ+](k∈Z).
函数f(x)的最大值为1,取到最大值时x的集合为{x|x=kπ+,k∈Z}…7分
(3)f(x)=sin(2x+)
=cos[-(2x+)]
=cos(2x-)
=cos2(x-),
故至少左移个单位,才能使得到的图象对应的函数为偶函数…10分
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