证明：n级实矩阵A一定可以分解为A=TDP,其中T为正交矩阵,D为对角矩阵,P为可逆矩阵怎么用相抵和QR分解来解此题?

Question

证明：n级实矩阵A一定可以分解为A=TDP,其中T为正交矩阵,D为对角矩阵,P为可逆矩阵
怎么用相抵和QR分解来解此题?

Answer 1

这个问题显然应该用奇异值分解来证明, 别的方法都会罗嗦很多
如果非要用QR分解的话, 取排列阵Π使得AΠ的前r列线性无关, 其中r=rank(A)
然后做QR分解AΠ=QR, 其中R具有结构
R=
S V
0 0
S是非奇异上三角阵
接下来取T=Q, D=diag{I_r, 0}, P=KΠ^T, 其中
K=
S V
0 I_{n-r}