高数的几道小题一、求函数f(x)=(1+x)^[x/tan(x－兀)]在区间(0,2兀)内的间断点,并判断其类型.二、设f(x)=x/[a+e^(bx)]在(－∞,＋∞)内连续,且limf(x)=0(x→－∞时),则常数a,b满足?三、在(－兀,兀)内,函数y=

Question

高数的几道小题
一、求函数f(x)=(1+x)^[x/tan(x－兀)]在区间(0,2兀)内的间断点,并判断其类型.
二、设f(x)=x/[a+e^(bx)]在(－∞,＋∞)内连续,且limf(x)=0 (x→－∞时),则常数a,b满足?
三、在(－兀,兀)内,函数y=x/tanx的可去间断点的个数为?为什么呢?
四、设f(x)具有二阶连续导数,且f(0)=0,若g(x)={f(x)/x ,x≠0
{ a,x=0
1、试确定a,使g(x)在(－∞,＋∞)内连续；
2、证明所确定的a的值,使g(x)在（－∞,＋∞）内的导数是连续函数
第1题答案是f′(0)免写,主要是想问问2、证明过程怎么写,

Answer 1

一.间断点在tan(x-π)为0或无定义的点,x=π/2,π,3π/2
x=π/2&3π/2处,limf(x)=1 所以π/2 ,3π/2是可去间断点 lim(x->π+）f(x)=+∞,lim(x->π-)f(x)=0,π为第二类间断点
二.由连续性知a+e^(bx)≠0,所以a≥0
若b≥0 limf(x)=-∞ (x→－∞时） b0).所以三点都是可去间断点
四.2.x≠0时,g'(x)=[f‘(x)x-f(x)]/x² g'(0)=lim(g(x)-g(0))/x =lim (f(x)/x-f'(0))/x = f''(0)/2 （利用泰勒公式展开） lim(x->0)g'(x)=lim(x->0)[f‘(x)x-f(x)]/x² =lim [f''(x)x]/2x=f''(0)/2（利用洛比达和二阶导数连续性）所以g’连续