设3阶实对称矩阵A的秩为2，λ1=λ2=6是A的二重特征值，若a1=（1，a，0）T，a2=（2，1，1）T，a3=（0，1，-1）T都是矩阵A属于特征值6的特征向量．（1）求a的值；（2）求A的另一特征值和对应的特

Question

设3阶实对称矩阵A的秩为2，λ₁=λ₂=6是A的二重特征值，若a₁=（1，a，0）^T，a₂=（2，1，1）^T，a₃=（0，1，-1）^T都是矩阵A属于特征值6的特征向量．
（1）求a的值；
（2）求A的另一特征值和对应的特征向量；
（3）若β=（-2，2，-1）^T，求Aⁿβ．

Answer 1

（1）由于实对称矩阵的2重特征根，对应着2个线性无关的特征向量，因而
a₁=（1，a，0）^T，a₂=（2，1，1）^T，a₃=（0，1，-1）^T是线性相关的，
∴

.

1	2	0
a	1	1
0	1	−1

.

=2a-2=0
∴a=1
（2）设k为A的另一特征值，由于实对称矩阵必可以对角化，则存在可逆矩阵P，使得
P−1AP＝

6
	6
		k

＝∧
∴r（A）=r（∧）=2
∴k=0
设特征值0对应的特征向量p＝

u

v

w

，则p与α_i（i=1，2）正交
∴

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