设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内大于零,并满足xf′(x)=f(x)+3a2x2(a为常数�设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内大于零,并满足xf′(x)=f(
设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内大于零,并满足xf′(x)=f(x)+3a2x2(a为常数�
设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内大于零,并满足xf′(x)=f(x)+x2(a为常数),又曲线y=f(x)与x=1,y=0所围的图形S的面积值为2,求函数y=f(x),并问a为何值时,图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小.
答案和解析
x∈(0,1),xf′(x)=f(x)+
x2(a为常数),
则f′(x)?f(x)=(a为常数),
[f(x)]′==(x+C)′,C为任意常数,
f(x)=x+C
f(x)=x2+Cx
又曲线y=f(x)与x=1,y=0所围的图形S的面积值为2,
即S=(y?0)dx═(x2+Cx)dx=[x3+x2=+=2
所以,C=4-a.
故f(x)=x2+Cx=x2+(4?a)x.
又因为函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,所以上式对区间[0,1]适用.
所以,f(x)=x2+(4?a)x,x∈[0,1]
因为函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内大于零,
所以,图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积
V=πy2dx=π[x2+(4?a)x]2dx=π[x4+3a(4?a)x3+(4?a)
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2017-11-08
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