数学分析习题设函数f的定义域为R,不恒为0,且对一切x,y∈R满足①f(x+y)=f(x)+f(y)②f(xy)=f(x)f(y)证明：Ⅰf(1)=1Ⅱf(x)=x对一切有理数x成立Ⅲf(x)>0对一切x>0成立Ⅳ若x>y,则f(x)>f(y)Ⅴf(x)=x对一切x∈R成

Question

数学分析习题
设函数f的定义域为R,不恒为0,且对一切x,y∈R满足
①f(x+y)=f(x)+f(y)②f(xy)=f(x)f(y)
证明：Ⅰ f(1)=1
Ⅱ f(x)=x对一切有理数x成立
Ⅲ f(x)>0对一切x>0成立
Ⅳ 若x>y,则f(x)>f(y)
Ⅴ f(x)=x对一切x∈R成立

Answer 1

利用f(xy)=f(x)f(y) 令x=y=1,结合不恒为0得到f(1)=1 .先得到所有整数f(x)=x然后得到整数分之一有f(x)=x最后对所以分数有f(x)=x,即为f(x)=x对一切有理数x成立对任意x>0,存在有理数c,x>c>0,有f(x)=f(x/2)f(x/2)>=0,f(x...