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设函数f(x)=ex-ax-2.(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k)f′(x)+x+1>0,求k的最大值.
题目详情
设函数f(x)=ex-ax-2.
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k)f′(x)+x+1>0,求k的最大值.
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k)f′(x)+x+1>0,求k的最大值.
▼优质解答
答案和解析
(I)函数f(x)=ex-ax-2的定义域是R,f′(x)=ex-a,
若a≤0,则f′(x)=ex-a≥0,所以函数f(x)=ex-ax-2在(-∞,+∞)上单调递增.
若a>0,则当x∈(-∞,lna)时,f′(x)=ex-a<0;当x∈(lna,+∞)时,f′(x)=ex-a>0;所以,f(x)在(-∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)上单调递增.
(II)由于a=1,所以,(x-k) f´(x)+x+1=(x-k) (ex-1)+x+1
故当x>0时,(x-k) f´(x)+x+1>0等价于k<
+x(x>0)①
令g(x)=
+x,则g′(x)=
+1=
由(I)知,函数h(x)=ex-x-2在(0,+∞)上单调递增,而h(1)<0,h(2)>0,所以h(x)=ex-x-2在(0,+∞)上存在唯一的零点,故g′(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点,设此零点为α,则有α∈(1,2)
当x∈(0,α)时,g′(x)<0;当x∈(α,+∞)时,g′(x)>0;所以g(x)在(0,+∞)上的最小值为g(α).又由g′(α)=0,可得eα=α+2所以g(α)=α+1∈(2,3)
由于①式等价于k<g(α),故整数k的最大值为2
若a≤0,则f′(x)=ex-a≥0,所以函数f(x)=ex-ax-2在(-∞,+∞)上单调递增.
若a>0,则当x∈(-∞,lna)时,f′(x)=ex-a<0;当x∈(lna,+∞)时,f′(x)=ex-a>0;所以,f(x)在(-∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)上单调递增.
(II)由于a=1,所以,(x-k) f´(x)+x+1=(x-k) (ex-1)+x+1
故当x>0时,(x-k) f´(x)+x+1>0等价于k<
x+1 |
ex−1 |
令g(x)=
x+1 |
ex−1 |
−xex−1 |
(ex−1)2 |
ex(ex−x−2) |
(ex−1)2 |
由(I)知,函数h(x)=ex-x-2在(0,+∞)上单调递增,而h(1)<0,h(2)>0,所以h(x)=ex-x-2在(0,+∞)上存在唯一的零点,故g′(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点,设此零点为α,则有α∈(1,2)
当x∈(0,α)时,g′(x)<0;当x∈(α,+∞)时,g′(x)>0;所以g(x)在(0,+∞)上的最小值为g(α).又由g′(α)=0,可得eα=α+2所以g(α)=α+1∈(2,3)
由于①式等价于k<g(α),故整数k的最大值为2
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