线性代数中常用的公式r(A)+r(B)≤n何时取等号（AB=0）A为m×n矩阵,B为n×s矩阵,如果AB=0,则r(A)+r(B)≤n,其中等号是什么情况下取?我知道这个≤是因为B可以由Ax=0的基础解系表示,所以B的秩≤基础解

Question

线性代数中常用的公式r(A)+r(B)≤n 何时取等号（AB=0）
A为m×n矩阵,B为n×s矩阵,如果AB=0,则r(A)+r(B)≤n,其中等号是什么情况下取?
我知道这个≤是因为B可以由Ax=0的基础解系表示,所以B的秩≤基础解系的个数,而基础解析个数是n-r（A）,得r（B）≤n-r（A）.
然后我想取等号的时候应该就是B的秩=基础解系的个数,但是进而说明什么问题,我有点想不太明白了.求懂得彻底明白的前辈指点

Answer 1

你说的对,取等号的时候应该就是B的秩=基础解系的个数
这意味着 B 的列向量组 与 AX=0的一个基础解系等价
也可以这样说,B的列向量中包含 AX=0 的解空间的一个基,其余列向量是AX=0的解就可以了