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已知平面区域D由以A(1,3),B(5,2),C(3,1)为顶点的三角形内部以及边界组成.若在区域D上有无穷多个点(x,y)可使目标函数z=x+my取得最小值,则m=()A.-2B.-1C.1D.4
题目详情
已知平面区域D由以A(1,3),B(5,2),C(3,1)为顶点的三角形内部以及边界组成.若在区域D上有无穷多个点(x,y)可使目标函数z=x+my取得最小值,则m=( )
A. -2
B. -1
C. 1
D. 4
A. -2
B. -1
C. 1
D. 4
▼优质解答
答案和解析
依题意,满足已知条件的三角形如下图示:
令z=0,可得直线x+my=0的斜率为-
,
结合可行域可知当直线x+my=0与直线AC平行时,
线段AC上的任意一点都可使目标函数z=x+my取得最小值,
而直线AC的斜率为
=-1,
所以-
=-1,解得m=1,
故选C.
增加网友的解法,相当巧妙值得体会!请看:
依题意,1+3m=5+2m<3+m,或1+3m=3+m<5+2m,或3+m=5+2m<1+3m
解得 m∈空集,或m=1,或m∈空集,
所以m=1,选C.
评析:此解法妙在理解了在边界处取到最小值这个命题的内蕴,区域的三个顶点中一定有两个顶点的坐标是最优解,故此两点处函数值相等,小于第三个顶点处的目标函数值,本题略去了判断最优解取到位置的判断,用三个不等式概括了三种情况,从而解出参数的范围,此方法可以在此类求参数的题中推广,具有一般性!

令z=0,可得直线x+my=0的斜率为-
1 |
m |
结合可行域可知当直线x+my=0与直线AC平行时,
线段AC上的任意一点都可使目标函数z=x+my取得最小值,
而直线AC的斜率为
1−3 |
3−1 |
所以-
1 |
m |
故选C.
增加网友的解法,相当巧妙值得体会!请看:
依题意,1+3m=5+2m<3+m,或1+3m=3+m<5+2m,或3+m=5+2m<1+3m
解得 m∈空集,或m=1,或m∈空集,
所以m=1,选C.
评析:此解法妙在理解了在边界处取到最小值这个命题的内蕴,区域的三个顶点中一定有两个顶点的坐标是最优解,故此两点处函数值相等,小于第三个顶点处的目标函数值,本题略去了判断最优解取到位置的判断,用三个不等式概括了三种情况,从而解出参数的范围,此方法可以在此类求参数的题中推广,具有一般性!
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