已知关于x的一元二次方程x²-(2k+4)x+k²+4k+3=0（1）求证:不论k取任何值,此一元二次方程总有两个不相等的实数根,（2）如图,设RT△ABC两直角边的长是此一元二次方程的根,斜边AC的长为10,试

Answer 1

⑴Δ=(2K+4)^2-4(K^2+4K+3)=4,
不论K为何值,Δ=4>0,
∴此一元二次方程有两个不相等的实数根.
⑵设一元二次方程的两根分别为X1、X2,
则X1+X2=2K+4,X1*X2=K^2+4K+3,
X1^2+X2^2=(X1+X2)^2-2X1*X2
=(2K+4)^2-2(K^2+4K+3)
=2K^2+8K+10=100
∴K^2+4K-45=0,(K+9)(K-5)=0,
K=-9或5,
当K=-9时,X1+X2=2K+4<0,不合题意,舍去.
当K=5时,一元二次方程就是：X^2-14X+48=0,X=6或8,
∴ΔABC的周长为6+8+10=24.
⑶AB=6,BC=8,AC=10,
设经过X秒,
AP=X,BP=6-X,BQ=2X,
∴SΔBPQ=1/2BP*BQ=6X-X^2=8,
X^2-6X+8=0
X=2或4.
即经过2秒或4秒时,SΔBPQ=8.