已知a,b,c,d属于R+,且a+b+c+d=1,求证a^2+b^2+c^2+d^2>=1/4要用柯西不等式啊!

Question

已知a,b,c,d属于R+,且a+b+c+d=1,求证a^2+b^2+c^2+d^2>=1/4
要用柯西不等式啊!

Answer 1

a+b+c+d=1
[(a+b+c+d)/2]^2=1/4
求证a^2+b^2+c^2+d^2>=1/4
可证a^2+b^2+c^2+d^2>=[(a+b+c+d)/2]^2=[(a+b+c+d)^2]/4
即证
a^2+b^2+c^2+d^2>=[(a+b+c+d)^2]/4
注意(x+y)^2<=2*(x^2+y^2)
这是由于(x+y)^2=x^2+y^2+2xy<=x^2+y^2+(x^2+y^2)=2*(x^2+y^2)
故令x=a+b,y=c+d.则
(a+b+c+d)^2<=2*[(a+b)^2+(c+d)^2]
而(a+b)^2<=2*(a^2+b^2)
(c+d)^2<=2*(c^2+d^2)
故(a+b+c+d)^2<=2*[(a+b)^2+(c+d)^2]<=4*(a^2+b^2+c^2+d^2)
即4*(a^2+b^2+c^2+d^2)>=(a+b+c+d)^2=1
两边同时除以4,得
a^2+b^2+c^2+d^2>=1/4