求y''-2y‘=1的y''-y'=e^x的通解

Question

求 y''-2y‘=1 的 y''-y'=e^x 的通解

Answer 1

对于y'+P(x)y=Q(x),有y=Cexp(-∫P(x)dx)+exp(-∫P(x)dx)∫Q(x)exp(∫P(x)dx), (1)
1.y=C1exp(2x)/2-x/2+C2
步骤：令y'=p,则p'-2p=1,利用（1）式可得p=Cexp(-∫-2dx)+exp(-∫-2dx)∫1*exp(∫-2dx)=Cexp(2x)-1/2,即得y'=Cexp(2x)-1/2,推得y=∫[Cexp(2x)-1/2]=C1exp(2x)/2-x/2+C2.
2.y=C1expx+(x-1)expx+C2
步骤：与上题方法类似.
令y'=p,则p'-p=expx,利用（1）式可得p=Cexp(-∫1dx)+exp(-∫1dx)∫expx*exp(∫1dx)=Cexpx+xexpx,即得y'=Cexpx+xexpx,推得y=∫[Cexpx+xexpx]=C1expx+(x-1)expx+C2.