已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(1,0),B(3,0)C(0,3)三点.27.已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(1,0),B(3,0)C(0,3)三点.（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点p.使PC+PA最小,并求出点P的坐标；

Question

已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(1,0),B(3,0) C(0,3)三点.
27.已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(1,0),B(3,0) C(0,3)三点.
（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点p.使PC+PA最小,并求出点P的坐标；
（3）若直线y=2x+m2-2m-2与抛物线y=ax2+bx+c交于MN两点,当线段MN长度最小时,求m的值及线段MN的长

Answer 1

待定系数法得抛物线方程y=x²-4x+3；
（2）A、B点关于抛物线的对称轴对称,那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC,那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点．
连接BC,直线BC与直线l的交点为P；
设直线BC的解析式为y＝kx＋b,将B(3,0),C(0,3)代入上式,得：0＝3k+b,3=0+b
,解得：k=-1,b=3
∴直线BC的函数关系式y＝－x＋3；
当x=2时,y＝1,即P的坐标(2,1)．
(3)
先令n=m²-2m-2,则直线方程为y=2x+n；
将直线方程代入抛物线方程,消去y,得x²-6x+3-n=0,Δ=36-4(3-n)>0,n>-6；
设M,N的横坐标分别为x1,x2,则有x1+x2=6,x1*x2=3-n；
____ _ _____________ _ ___ _ _______ _ _______
|MN|=√1+2² |x2-x1|=√5*√(x1+x2)²-4x1*x2 =2√5*√n+6 =2√5*√m²-2m+4=2√5*√(m-1)²+3
当m=-1时,|MN|有最小值,此时n=-3>-6满足前提条件,因此|MN|=2√15.