a1=2.an+1=an+1/an,证明an>根号下2n+1n∈N*

Question

a1=2.an+1=an+1/an,证明an>根号下2n+1
n∈N*

Answer 1

用数学归纳法证明,
当n=1时,a1=2>√(2*1+1)=√3,成立；
当n=2时,a2=2+1/2=5/2>√(2*2+1)=√5,成立；
设n=k时,原式成立,ak>√(2k+1),(ak)²>2k+1,∵a(k+1)=ak+1/(ak),∴ak*a(k+1)=(ak)²+1,∵ak>0,且ak≠a(k+1),∴(ak)²+[a(k+1)]²>2ak*a(k+1)=2(ak)²+2,[a(k+1)]²>(ak)²+2>2(k+1)+1,则a(k+1)>√[2(k+1)+1],当n=k+1时,原式成立,故an>根号下2n+1成立.