如图,正方形OABC,ADEF的顶点A,D,C在坐标轴上,点F在AB上,点B,E在函数y=1/x(x>0）,点F在AB上1.求正方形ADEF的边长2.求点E的坐标3.点F是线段AB的黄金分割点吗4.点A是线段OD的黄金分割点吗

Question

如图,正方形OABC,ADEF的顶点A,D,C在坐标轴上,点F在AB上,点B,E在函数y=1/x(x>0）,点F在AB上
1.求正方形ADEF的边长
2.求点E的坐标
3.点F是线段AB的黄金分割点吗
4.点A是线段OD的黄金分割点吗

Answer 1

（
1）正方形OABC面积为OA•AB,
设B的坐标为（x,y）,
∵xy=4,
∴正方形OABC面积为4；
∵x=y,
∴x=y=2,
∴ ；
（2）设ED=y,则OD=2+y．
由y（2+y）=4,
y2+2y-4=0,
解得y=-1±5 （舍去y=-1-5 ）,
∴E（1+5 ,-1+5 ）．
(3) (4)
把一条线段分割为两部分,使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比.其比值是一个无理数,用分数表示为(√5-1)/2,这个分割点,叫黄金分割点.
设点A的坐标是(x1,0）,那么点B的坐标是（x1,1/x1),由于OABC是正方形,所以x1=1/x1
求出x1=1,得到OA=AB=BC=1；
设点D的坐标是（x2,0）,那么点E的坐标是（x2,1/x2),由于ADEF是正方形,得到OD=X2,AD=DE=EF=AF=1/X2
这样一来,OA/OD=1/X2,AD/OA=1/X2,那么OA/OD=AD/OA,所以点A是OD的黄金分割点；且有X2=1+1/X2,算出x2=(√5-1)/2.
AF/AB=1/X2,FB/AF=（1-1/X2）/（1/X2）=X2-1,由于x2=1+1/x2,那么x2-1=1/x2,所以
AF/AB=FB/AF,也就是说点F是线段AB的黄金分割点.