设F(x)=∫(x到x+2π)sinte^sintdt,则F(x)为正数.为什么?

Answer 1

显然F(x)=∫(x到x+2π) sint*e^sintdt =∫(0到2π) sint*e^sintdt
不明白的话对F(x)求导,
得到
F'(x)= sin(x+2π)e^sin(x+2π) - sinx *e^sinx=0,
一阶导数为0,
即F(x)是一个常数,与变量x无关
那么
F(x)=∫(0到2π) sint*e^sintdt
=∫(0到π) sint*e^sintdt + ∫(π到2π) sint*e^sintdt
对于∫(π到2π) sint*e^sintdt,
令t'=t-π,故
∫(π到2π) sint*e^sintdt
=∫(0到π) sin(t'+π)*e^sin(t'+π) dt'
=∫(0到π) -sint' *e^(-sint' ) dt'
定积分与变量无关,
所以
F(x)
=∫(0到π) sint*e^sintdt + ∫(π到2π) sint*e^sintdt
=∫(0到π) sint*e^sintdt - ∫(0到π) sint *e^(-sint) dt
=∫(0到π) sint* [e^sint -e^(-sint)] dt
显然在区间0到π上sint都是大于等于0的,
而sint大于-sint,即e^sint -e^(-sint)也是大于等于0的
所以
F(x)一定为正数