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已知△ABC为等边三角形,D为AB边所在的直线上的动点,连接DC,以DC为边在DC两侧作等边△DCE和等边△DCF(点E在DC的右侧或上侧,点F在DC左侧或下侧),连接AE、BF(1)如图1,若点D在AB边上,
题目详情
已知△ABC为等边三角形,D为AB边所在的直线上的动点,连接DC,以DC为边在DC两侧作等边△DCE和等边△DCF(点E在DC的右侧或上侧,点F在DC左侧或下侧),连接AE、BF
(1)如图1,若点D在AB边上,请你通过观察,测量,猜想线段AE、BF和AB有怎样的数量关系?并证明你的结论;
(2)如图2,若点D在AB的延长线上,其他条件不变,线段AE、BF和AB有怎样的数量关系?请直接写出结论(不需要证明);
(3)若点D在AB的反向延长线上,其他条件不变,请在图3中画出图形,探究线段AE、BF和AB有怎样的数量关系,并直接写出结论(不需要证明)

(1)如图1,若点D在AB边上,请你通过观察,测量,猜想线段AE、BF和AB有怎样的数量关系?并证明你的结论;
(2)如图2,若点D在AB的延长线上,其他条件不变,线段AE、BF和AB有怎样的数量关系?请直接写出结论(不需要证明);
(3)若点D在AB的反向延长线上,其他条件不变,请在图3中画出图形,探究线段AE、BF和AB有怎样的数量关系,并直接写出结论(不需要证明)

▼优质解答
答案和解析
(1)AE+BF=AB,如图1,
∵△ABC和△DCF是等边三角形,
∴CA=CB,CD=CF,∠ACB=∠DCF=60°.
∴∠ACD=∠BCF,
在△ACD和△BCF中
∴△ACD≌△BCF(SAS)
∴AD=BF
同理:△CBD≌△CAE(SAS)
∴BD=AE
∴AE+BF=BD+AD=AB;
(2)BF-AE=AB,
如图2,易证△CBF≌△CAD和△CBD≌△CAE,
∴AD=BF,BD=AE,
∴BF-AE=AD-BD=AB;
(3)AE-BF=AB,
如图3,易证△CBF≌△CAD和△CBD≌△CAE,
∴AD=BF,BD=AE,
∴BF-AE=AD-BD=AB.

∵△ABC和△DCF是等边三角形,
∴CA=CB,CD=CF,∠ACB=∠DCF=60°.
∴∠ACD=∠BCF,
在△ACD和△BCF中
|
∴△ACD≌△BCF(SAS)

∴AD=BF
同理:△CBD≌△CAE(SAS)
∴BD=AE
∴AE+BF=BD+AD=AB;
(2)BF-AE=AB,
如图2,易证△CBF≌△CAD和△CBD≌△CAE,
∴AD=BF,BD=AE,

∴BF-AE=AD-BD=AB;
(3)AE-BF=AB,
如图3,易证△CBF≌△CAD和△CBD≌△CAE,
∴AD=BF,BD=AE,
∴BF-AE=AD-BD=AB.
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