若n（n∈N,n＞1）不能被小于根号n的所有质数整除,则n为质数.谁证明下.这次有分加了...括号里的n＞1可以去掉额。重新命题好：若n（n∈N）不能被小于根号n的任一质数整除，则n为质数。

Question

若n（n∈N,n＞1）不能被小于根号n的所有质数整除,则n为质数.
谁证明下.
这次有分加了...
括号里的n＞1可以去掉额。
重新命题好：
若n（n∈N）不能被小于根号n的任一质数整除，则n为质数。

Answer 1

说得更严密一点,小于根号n应该改为小于等于根号n,否则结论对质数的平方是不满足的.
反之n不是质数,则n可以分解为两个小于n的正整数的乘积,设 n=ab.这里可以认为a,b都是质数.事实上,如果a,b不全是质数,比如a不是,那么根据算术基本定理,a可以分成若干质数的幂的乘积（例如 60=(2^2)*3*5,等等）,由于n=ab,a的素因子也是n的素因子,这与n（n∈N）不能被小于等于根号n的任一质数整除矛盾.
根据题设,n不能被小于等于根号n的任一质数整除,又有n=ab,所以只能a>根号n,b>根号n,此时n=ab>n,矛盾,因此假设不成立,故n是质数.