超难：直角梯形对角线长2和3,焦点到直角边的距离1,求直角边（梯形高）?AB平行CD,AD垂直AB,CD,EF垂直AAD,EF=1,AC=3,BD=2,求AD=?

Question

Answer 1

像AB、CD、EF这样的图形,恒成立1/AB+1/CD=1/EF, 所以设AD=h, 再设h^2=x, 则得到方程
1/√(4-x)+1/√(9-x)=1
化成整式是一个不可约的4次方程,所以问题的根式解超出了中学范围.
直接用数学软件解上述方程的数值解,得到AD=1.23119, AB=1.57613, CD=2.73572
上述结果小数部分前4位是准确的.
这已经不是用一只笔、一张纸所能解出的问题,若有软件几何画板,可以有一种接近几何方法的图解法.作图要点：
1、显示坐标网,将D点置于原点,C点在x轴上滑动,A点在y轴上滑动；
2、作以D为圆心、半径为3和2的圆,以下称为圆2和圆3；
3、在圆3上任取一点P,作出它在坐标轴上的投影点A,C（图中黑色字）,同时可作出过A的水平线与圆2的交点B（黑色）；
4、连接AC与BD,得交点E（黑色）；
5、选择点P,圆3和点E（黑色）,在“作图”菜单下选“轨迹”,作出E点的轨迹.像一条又曲线的一支（图中红色曲线）.
6、过点(1,0)作平行于y轴的直线,交上述轨迹于E点（红色）,这就是符合要求的图形的E点,然后可以从E点出发依次作出B 、A、C（红色）
7、最后测量A点的纵坐标即为AD的长度.结果正是1.23119（几何画板的最高精度十万分之一）