如图,∠ACB=∠ADB=90,CE⊥AB于点E,DF⊥AB于点F,试说明(AC+AD)(AC-AD)=AB×EF

Question

如图,∠ACB=∠ADB=90,CE⊥AB于点E,DF⊥AB于点F,试说明(AC+AD)(AC-AD)=AB×EF

Answer 1

由于,∠ACB=∠ADB=90,CE⊥AB于点E,DF⊥AB于点F.
由于证明的是(AC+AD)(AC-AD)=AB×EF.
(AC+AD)(AC-AD) = AC^2 - AD^2
这个图中,直角非常多,所以相似的三角形很多,
得想办法弄AC^2和AD^2.
由条件,三角形ADB相似三角形AFD,三角形ACB相似三角形AEC.
所以 AD ：AB = AF ：AD =》 AD^2 = AF×AB （1）式
同理 AC ：AB = AE ：AC =》AC^2 = AB×AE （2）式
（2）- （1）=》 AC^2 - AD^2 = AB×AE - AB×AF
=》(AC + AD)(AC - AD) = AB×（AE - AF）
=》（AC + AD）（AC - AD）= AB×EF