设A,B均为n阶方阵,E为n阶单位阵,且(A-E)(B-E)=0A=E或B=E|A-E|=0或|B-E|=0|A|=1或|B|=1AB=BA哪一个正确,为什么

Question

设 A,B均为n阶方阵,E为n 阶单位阵,且(A-E)(B-E)=0
A=E或B=E
|A-E|=0或|B-E|=0
|A|=1或 |B|=1
AB=BA
哪一个正确,为什么

Answer 1

第二个正确,因为根据|AB|=|A||B|,所以有|A-E||B-E|=0,自然其中至少有一个为0.在矩阵乘法中,由A≠O且B≠O是推不出AB≠O的,因此第一个不对,而对于行列式一般也没有|A-B|=|A|-|B|,因此第三个不对,第四个更无从说起.