如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点在x轴上，且OA=1，与一次函数y=-x-1的图象交于y轴上一点B和另一交点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为线段BC上一点，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，

Question

 如图，已知二次函数y=ax²+bx+c的图象顶点在x轴上，且OA=1，与一次函数y=-x-1的图象交于y轴上一点B和另一交点C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为线段BC上一点，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，交抛物线于点F，请求出线段DF的最大值．

Answer 1

（1）∵OA=1，
∴抛物线的顶点A的坐标为（1，0），
设抛物线解析式为y=a（x-1）²，
在直线y=-x-1中，当x=0时，y=-1，
则点B（0，-1），代入得：a=-1，
∴抛物线解析式为y=-（x-1）²=-x²+2x-1．

（2）由

y=-x-1

y=-x2+2x-1

，解得

x=0

y=-1

或

x=3

y=-4

，
即点B（0，-1）、点C（3，-4），
∴0<x<3，
令DF=W，
则W=-（-x-1）-（-x²+2x-1）=x²-x+2=（x-(1)/(4)）²+(7)/(4)，
∴当x=(1)/(4)时，W_最大值=(7)/(4)，
即线段DF的最大值为(7)/(4)．