已知函数f(x)=log2(1-x/1+x),1.判断并证明f(x)的奇偶性 2.若关于x的方程f(x)=log2(x-k)有实根,求k

Question

已知函数f(x)=log2(1-x/1+x),1.判断并证明f(x)的奇偶性 2.若关于x的方程f(x)=log2(x-k)有实根,求k

Answer 1

1.f(x)=log₂(1-x/1+x),
f(-x)=log₂(1+x/1-x),
则f(x)+f(-x)=log₂1=0,
即f(-x)=-f(x),故f（x）为奇函数；
2.对于f（x）,有(1-x/1+x）＞0,则-1＜x＜1；
对于f（x）=log₂（x-k）,有（x-k）＞0,x＞k,故k≤-1；
因为f（x）为奇函数,故1-x/1+x=x-k,x²+（2-k）x-（k+1）=0,
因为该方程有实根,故△=（2-k）²+4（k+1）=k²+8恒大于0,即方程恒有实根；
综上,k≤-1.