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三角函数综合题.求解!已知a,b均属于(0,pi/2),a+b不等与pi/2,向量A=(sina,sinb)与B=(cos(a+b),-1)垂直.当tanb取最大值时,求tan(a+b)的值.
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▼优质解答
答案和解析
因为垂直,所以sina*cos(a+b)-sinb=0,sina*cos(a+b)=sinb,两边同除cosb,拆开,则sina*cosa-sina*sina*tanb=tanb,移项 ,(1+sina*sina)*tanb=sina*cosa ,tanb=sina*cosa/(1+sina*sina)
若tanb取最大值,则sina*cosa/(1+sina*sina)有最大值
将分母中的1化作sina^2+cosa^2,把式子化成
sina*cosa/(sina^2+cosa^2+sina^2)
上下同除cosa^2,得
tana/(2(tana)^2+1)
在上下同除tana,得
1/[(2tana)+(1/tana)]
用基本不等式,得该式最大值为 (根号2)/4
当tana=(根号2)/2 时,等号成立
所以,tan(a+b)= 根号2
若tanb取最大值,则sina*cosa/(1+sina*sina)有最大值
将分母中的1化作sina^2+cosa^2,把式子化成
sina*cosa/(sina^2+cosa^2+sina^2)
上下同除cosa^2,得
tana/(2(tana)^2+1)
在上下同除tana,得
1/[(2tana)+(1/tana)]
用基本不等式,得该式最大值为 (根号2)/4
当tana=(根号2)/2 时,等号成立
所以,tan(a+b)= 根号2
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