AG=三分之一AB,BE=三分之一BC,CF=三分之一AC.求AH比HD比DE.还有：已知X+Y+Z=1,求9XY+10YZ+11ZX的最大值?

Question

AG=三分之一AB,BE=三分之一BC,CF=三分之一AC.
求AH比HD比DE.
还有：
已知X+Y+Z=1,求9XY+10YZ+11ZX的最大值?

Answer 1

初中竞赛题
第一种用梅涅劳斯定理证明（可百度百科一下）
GC截三角形ABE三边AB,AE,BE的延长线于G,H,C三点
则有（AG/GB）*（BC/CE）*（EH/HA）=1
可得EH/HA=4/3即EH=4EA/7,HA=3EA/7 （1）
FB截三角形ACE三边AC,AE,CE的延长线于F,D,B三点
则有（AF/FC）*（CB/BE）*（ED/DA）=1
则有ED/DA=1/6即ED=EA/7,DA=6EA/7 （2）
由（1）（2）得AH/HD/DE=3/3/1
这个定理很好用!可牢记!但一般的学习当中最好不要用!初中到高中都不提倡
第二种做辅助线
过点D作DM‖BC交AE于M则(1)△AGM≌△ABE推得AM/AE=AD/AB=GM/BE=1/3得AM=AE/3,GM=BE/3=BC/9则ME=2AE/3
(2)△HGM≌△HCE推得HM/HE=GM/CE,GM的值上面已求的则有HM=HE/6,又HM+HE=ME=2AE/3可得HM=2AE/21,HE=4AE/7得AH=HM+AM=3AE/7
过点E作EN‖CA交BF于N同理可证DE=AE/7,HD=3AE/7
由上可得AH:HD:DE=3:3:1