关于向量的三道题1 已知向量集合M=｛a│a=(1,2)+λ(3,4),λ∈R｝,N=｛a│a=(-2,-2)+λ(4,5),λ∈R｝,求M∩N2 已知：AD、BE、CF是△ABC的三条高,交于O点,DG⊥BE于G,DH⊥CF于H,求证：HG‖EF3 两个力F1=i+j,F2=4i-5j作

Question

关于向量的三道题
1 已知向量集合M=｛a│a=(1,2)+λ(3,4),λ∈R｝,N=｛a│a=(-2,-2)+λ(4,5),λ∈R｝,求M∩N
2 已知：AD、BE、CF是△ABC的三条高,交于O点,DG⊥BE于G,DH⊥CF于H,求证：HG‖EF
3 两个力F1=i+j,F2=4i-5j作用于同一质点,使该质点从A(20,15）移动到点B（7,0）,其中i,j是x轴,y轴正方向上的单位向量 求F1,F2分别对该质点做的功

Answer 1

1
设M中的λ为λ1,N中的λ为λ2,则有:
若使M和N中的元素有相同,则:
对于向量的第一个元素,有:
1+3·λ1=-2+4·λ2→3·λ1-4·λ2=-3;①
对于向量的第二个元素,有:
2+4·λ1=-2+5·λ2→4·λ1-5·λ2=-4.②
解由①②组成的方程组得:
λ1=-1; λ2=0;
于是,此时a=(1,2)+λ1·(3,4)=(-2,-2)+λ2·(4,5)=(-2,-2).
即M∩N={(-2,-2)}
2
证明：
因为DG⊥BE,DH⊥CF
所以O、G、D、H四点共圆
所以∠OHG＝∠ODG
同理B、C、E、F四点共圆
所以∠CFE＝∠CBE
因为∠ODG＋∠BDG＝90,∠DBE＋∠BDG＝90
所以∠CBE＝∠ODG
所以∠OHG＝∠CFE
所以HG//EF
3
F1、F2分别可以写作（1,1）,（4,-5）
该点从A（20,15）移到B（7,0）,其横向位移为7-25=-18,
纵向位移为0-15=-15
故F1在x轴方向上对其做的功为1*（-18）=-18;
在y轴方向上对其做的功为1*（-15）=-15,
故F1对其做的功为（-18）+（-15）=-33
F2在x轴方向上对其做的功为4*（-18）=-72,
在y轴方向上对其做的功为-5*（-15）=75,
故F2对其做的功为75-72=3