已知f（x）是定义在[-e，0）∪（0，e]上的奇函数，当x∈（0，e]时，f（x）=ax+2lnx，（a＜0，a∈R）（1）求f（x）的解析式；（2）是否存在实数a，使得当x∈[-e，0）时，f（x）的最小值是4？如果

Question

已知f（x）是定义在[-e，0）∪（0，e]上的奇函数，当x∈（0，e]时，f（x）=ax+2lnx，（a＜0，a∈R）
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在实数a，使得当x∈[-e，0）时，f（x）的最小值是4？如果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设x=[-e，0），则-x∈（0，e]∴f（-x）=-ax+2ln（-x）．∵f（x）是定义在[-e，0）∪（0，e]，上的奇函数，∴f（x）=-f（-x）=ax-2ln（-x）．
故函数f（x）的解析式为：f(x)＝

ax−2ln(−x)x∈[−e，0)

ax+2lnx，x∈(0，e]

（2）假设存在实数a，使得当x∈（-e，0]时，f（x）=ax-2ln（-x）有最小值是3．
∵f′(x)＝a−(2)/(x)＝(ax−2)/(x)．
①当(2)/(a)≤−e，即−(2)/(e)≤a＜0时，
由于x∈[-e，0），则f'（x）≥0．故函数f（x）=ax-2ln（-x）是[-e，0）上的增函数．
∴所以f（x）_min=f（-e）=-ae-2=4，解得a＝−(6)/(e)＜−(2)/(e)（舍去）
②当(2)/(a)＞−e，即a＜−(2)/(e)时，则

x	(−e，(2)/(a))	((2)/(a)，0)
f'（x）	-	+
f（x）	↘	↗

∴f(x)min＝f((2)/(a))＝2−2ln(−(2)/(a))＝4，解得a=-2e
综上所知，存在实数a=-2e，使得当x∈[-e，0）时，f（x）最小值4．