f(x,y)=x³+y³-3xy在区间{（x,y)||x|≤2,|y|≤2}上的最大值与最小值.

Question

f(x,y)=x³+y³-3xy 在区间{（x,y)| |x|≤2,|y|≤2}上的最大值与最小值.

Answer 1

对x偏导 为3y^2-3x 其最值在x=y^2 及边界点y=-2 y=-2取得 当x=y^2时 为函数g(y)=y^6+y^3-3y^3=y^6-2y^3 g'(y)=6y^5-6y^2=6y^2(y^3-1) 显然当y=1时 g'(x)=0 g(x)取得最值 此时x-y^2=1 将（1,1）代入得f(x,y)=-2 当y=-2时 函数为f(x)=x^3+6x-8 此时函数为单调增加函数 最值分别在边界x=-2和x=2处取得 将（-2,-2）代入得f(-2,-2)=-8-12-8=-28 将（-2,2）代入得f(-2,2)=12 当y=2时 函数f(x)=x^3-6x+8 对其求导f'(x)=3(x^2-2) 最值分别在边界x=-2 x=2 及导数为0处 x=±√2处取得 当x=-2时 f(-2)=12 x=2时 f(2)=4 x=-√2 时f(x)=-2√2+6√2+8=8+4√2 当x=√2时 f(x)=2√2-6√2+8=8-4√2 将以上最值吧比较得最小值为f(-2,-2)=-28 最大值为f(-√2,2)=8+4√2