已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（-x2+ax-3）ex，（a为实数）（1）当a=5时，求函数y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程；（2）若存在不等实根x1，x2∈[1e，e]，使方程g（x）=2exf（x）成立，求实

Question

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（-x²+ax-3）e^x，（a为实数）
（1）当a=5时，求函数y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程；
（2）若存在不等实根x₁，x₂∈[(1)/(e)，e]，使方程g（x）=2e^xf（x）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=5时，g（x）=（-x²+5x-3）-e^x，g（1）=e．
g′（x）=（-x²+3x+2）-e^x，故切线的斜率为g′（1）=4e，
则切线方程为：y-e=4e（x-1），即y=4ex-3e；
（2）由g（x）=2e^xf（x），可得：2xlnx=-x²+ax-3，
a=x+2lnx+(3)/(x)，
令h（x）=x+2lnx+(3)/(x)，h′（x）=1+(2)/(x)-(3)/(x2)=((x+3)(x-1))/(x2)．

x	（(1)/(e)，1）	1	（1，e）
h′（x）	-	0	+
h（x）	单调递减	极小值（最小值）	单调递增

h（(1)/(e)）=(1)/(e)+3e-2，h（1）=4，h（e）=(3)/(e)+e+2．
h（e）-h（(1)/(e)）=4-2e+(2)/(e)<0．
则使方程g（x）=2e^xf（x）存在两不等实根的实数a的取值范围为4<a≤e+2+(3)/(e)．