设f（x）在[a，b]上连续，且∫baf(x)dx=0，∫baxf(x)dx=0，证明：至少存在两点x1，x2∈（a，b），使得f（x1）=f（x2）=0．

Question

设f（x）在[a，b]上连续，且

∫

b a

f(x)dx=0，

∫

b a

xf(x)dx=0，证明：至少存在两点x₁，x₂∈（a，b），使得f（x₁）=f（x₂）=0．

Answer 1

证明：由于f（x）在[a，b]上连续，故利用积分中值定理可得，存在x₁∈（a，b），使得f(x1)=(1)/(b-a)

∫

b a

f(x)dx=0．
下证f（x）在[a，b]上必有第二个零点．
假若f（x）在（a，b）内只有一个零点x₁，
则f（x）在（a，x₁）内不能变号，f（x）在（x₁，b）内不能变号，且在x₁的两侧只能异号，
从而（x-x₁）f（x）在x₁的两侧保持同号，
于是0≠

∫

b a

(x-x1)f(x)dx=

∫

b a

xf(x)dx-x1

∫

b a

f(x)dx=0，
矛盾，故至少存在两点x₁，x₂∈（a，b），使得f（x₁）=f（x₂）=0．