过点P（1，0）作抛物线y=x-2的切线，求该切线与抛物线y=x-2及x轴所围平面图形绕x轴旋转而成的旋转体体积．

Question

过点P（1，0）作抛物线y=√(x-2)的切线，求该切线与抛物线y=√(x-2)及x轴所围平面图形绕x轴旋转而成的旋转体体积．

Answer 1

设切点坐标为（x₀，y₀）则y0=√(x0-2)
y=√(x-2)
y′=(1)/(2√(x-2))
则切线方程为：y-y0=(1)/(2√(x0-2))(x-x0)
且切线通过点P（1，0）
∴代入上面方程，解得：x₀=3
切点坐标为（3，1）
切线方程：y=(1)/(2)(x-1)
切线与抛物线及x轴旋转一周所成旋转体的体积
V=

∫π

3 1

[(1)/(2)(x-1)]2dx-

π∫

3 2

(√(x-2))2dx
=(π)/(12)((x)/(2)-(1)/(2))3

丨

3 1

-π((x-2)2)/(2)

丨

3 2

=(π)/(6)
故答案为(π)/(6)