设y=f(x)在x=0的某一临域内连续,且f(0)=0,limx趋近于0f(x)/(1-cosx)=2,则在点x=0处f(x)?.A不可导B可导且f'(0)=0C取得最大值D取得最小值

Question

设y=f(x)在x=0的某一临域内连续,且f(0)=0,limx趋近于0 f(x)/(1-cosx)=2,则在点x=0处f(x)?.A不可导 B可导且f'(0)=0 C取得最大值 D取得最小值

Answer 1

证明：由(x→0)limg(x)/x=-1 （极限为-1,分母趋于0,则分子必趋于0）
可知(x→0)limg(x)=0 即g(0)=0
于是(x→0)lim[g(x)-g(0)]/(x-0)=-1
则g(x)在该
内可导且g'(0)=-1
(x→0)limf(x)/g²(x)=2
因为(x→0)limg²(x)=0
则(x→0)limf(x)=0
f(0)=0
对(x→0)limf(x)/g²(x)=2进行变形
(x→0)limf(x)/g²(x)
=(x→0)lim[f(x)/x][x²/g(x)]
=(x→0)lim[f(x)/x²]•(x→0)limx²/g(x) （变成两个极限之积,并对右边的极限用
）
=(x→0)lim[f(x)/x²]•(x→0)limx/g(x)•(x→0)lim1/g'(x)
=(x→0)lim[f(x)/x²]•(-1)•(-1)
=2
因此f(x)=2x²+o(x)
于是可以得到(x→0)limf(x)/x=0
即f'(0)=0
即证