设a0为常数，且an=3n-1-2an-1（n∈N*）．证明：n≥1时，an=15[3n+（-1）n-1•2n]+（-1）n•2n•a0．

Question

设a ₀ 为常数，且a _n =3 ^n-1 -2a _n-1 （n∈N*）．证明：n≥1时，a _n = (1)/(5) [3 ⁿ +（-1） ^n-1 •2 ⁿ ]+（-1） ⁿ •2 ⁿ •a ₀ ．

Answer 1

证明：（1）当n=1时， (1)/(5) [3+2]-2a ₀ =1-2a ₀ ，而a ₁ =3 ⁰ -2a ₀ =1-2a ₀ ．
∴当n=1时，通项公式正确．
（2）假设n=k（k∈N*）时正确，即a _k = (1)/(5) [3 ^k +（-1） ^k-1 •2 ^k ]+（-1） ^k •2 ^k •a ₀ ，
那么a _k+1 =3 ^k -2a _k =3 ^k - (2)/(5) ×3 ^k + (2)/(5) （-1） ^k •2 ^k +（-1） ^k+1 •2 ^k+1 a ₀
= (3)/(5) •3 ^k + (1)/(5) （-1） ^k •2 ^k+1 +（-1） ^k+1 •2 ^k+1 •a ₀
= (1)/(5) [3 ^k+1 +（-1） ^k •2 ^k+1 ]+（-1） ^k+1 •2 ^k+1 •a ₀ ．∴当n=k+1时，通项公式正确．
由（1）（2）可知，对n∈N*，a _n = (1)/(5) [3 ⁿ +（-1） ^n-1 •2 ⁿ ]+（-1） ⁿ •2 ⁿ •a ₀ ．