用正交变换将二次型f(x1,x2,x3)=2x1^2+5x2^2+5x3^2+4x1x2-4x1x3-8x2x3化成标准型

Question

用正交变换将二次型f(x1,x2,x3)=2x1^2+5x2^2+5x3^2+4x1x2-4x1x3-8x2x3化成标准型

Answer 1

解: |A-λE|=
2-λ 2 -2
2 5-λ -4
-2 -4 5-λ
r3+r2 (消0的同时, 还能提出公因子, 这是最好的结果)
2-λ 2 -2
2 5-λ -4
0 1-λ 1-λ
c2-c3
2-λ 4 -2
2 9-λ -4
0 0 1-λ
= (1-λ)[(2-λ)(9-λ)-8] (按第3行展开, 再用十字相乘法)
= (1-λ)(λ^2-11λ+10)
= (10-λ)(1-λ)^2.
A的特征值为: λ1=10,λ2=λ3=1.
(A-10E)X=0 的基础解系为 a1=(1,2,-2)'
(A-E)X=0 的基础解系为 a2=(2,-1,0)',a3=(2,0,1)
正交化得
b1=(1,2,-2)'
b2=(2,-1,0)'
b3=(1/5)(2,4,5)'
单位化得
c1=(1/3,2/3,-2/3)'
c2=(2/√5,-1/√5,0)'
c3=(2/√45,4/√45,5/√45)'
令Q=(c1,c2,c3). 则Y=QX是正交变换,且 f=10y1^2+y2^2+y3^2