两条直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0什么时候他们相交、平行、重合、垂直.其中我有些懂,但怎么证,有未知数让你取何值时,要分类讨论吗?例如：已知两条直线l1：x+（1+m）y=2-m,l2：2mx+4y=-16,当m为何值

Question

两条直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0什么时候他们相交、平行、重合、垂直.
其中我有些懂,但怎么证,有未知数让你取何值时,要分类讨论吗?例如：已知两条直线l1：x+（1+m）y=2-m,l2：2mx+4y=-16,当m为何值时,他们相交、平行、重合、垂直?

Answer 1

当A1/A2≠B1/B2时,直线A1x+B1y+C1=0与直线A2x+B2y+C2=0相交；
当A1/A2=B1/B2≠C1/C2时,直线A1x+B1y+C1=0与直线A2x+B2y+C2=0平行；
当A1/A2=B1/B2=C1/C2时,直线A1x+B1y+C1=0与直线A2x+B2y+C2=0重合；
当A1*A2+B1*B2=0时,直线A1x+B1y+C1=0与直线A2x+B2y+C2=0垂直.
在所给含有未知数M的例子中,当1/（2M）≠（1+M）/4时两直线相交,解之得M≠1和M≠-2；当1/（2M）=（1+M）/4≠（M-2）/16时两直线平行,解之得M=1；当1/（2M）=（1+M）/4=（M-2）/16时两直线重合,解之得M=-2；当1*（2M）+（1+M）*4=0时两直线垂直,解之得M=-2/3.