如图，在圆内画1条线段，将圆分割成两部分；画2条相交线段，将圆分割成4部分；画3条线段，将圆最多分割成7部分；画4条线段，将圆最多分割成11部分．（1）记在圆内画n条线段，将圆最多

Question

如图，在圆内画1条线段，将圆分割成两部分；画2条相交线段，将圆分割成4部分；画3条线段，将圆最多分割成7部分；画4条线段，将圆最多分割成11部分．

（1）记在圆内画n条线段，将圆最多分割成a_n部分，归纳出a_n+1与a_n的关系；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式，根据a_n+1与a_n的关系及数列的知识，证明你的猜想是否成立．

Answer 1

（1）由题意可得 a₁=2，a₂=4，a₃=7，a₄=11，
显然 a₂-a₁=2，a₃-a₂=3，a₄-a₃=4，归纳可得 a_n+1 -a_n=n+1．
（2）猜想数列{a_n}的通项公式为a_n=(n2+n+2)/(2)，n∈N．
证明：①当n=1时，a_n=(n2+n+2)/(2) 成立，
②假设 a_k=(k2+k+2)/(2)，再根据a_k+1 -a_k=k+1，
可得a_k+1=a_k+k+1=(k2+k+2)/(2)+k+1=(k2+3k+4)/(2)=((k+1)2+(k+1)+2)/(2)，
故当n=k+1时，a_n=(n2+n+2)/(2)，n∈N 仍然成立．
结合①②可得，数列{a_n}的通项公式为a_n=(n2+n+2)/(2)，n∈N．