应用拉格朗日乘数法,求空间一点 ( x,y,z) 到平面 Ax+By+Cz=0的距离?

Question

应用拉格朗日乘数法,求空间一点 ( x,y,z) 到平面 Ax+By+Cz=0的距离?

Answer 1

设空间一点 ( x0,y0,z0) 到平面 Ax+By+Cz=0的距离的平方为：
L2=(x-x0)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2 约束条件：Ax+By+Cz=0
构造拉格朗日函数：
L=(x-x0)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2+λ(Ax+By+Cz)
{ 2x-2x0+λA=0
{ 2y-2y0+λB=0
{ 2z-2z0+λC=0
{ Ax+By+Cz=0
联立解得：
x =2*(A*x0+B*y0+C*z0)/(A^2+B^2+C^2)
y =-(-x0*B^2-x0*C^2+A*B*y0+A*C*z0)/(A^2+B^2+C^2)
z =(y0*A^2+y0*C^2-B*A*x0-B*C*z0)/(A^2+B^2+C^2)
代入整理得空间一点 ( x0,y0,z0) 到平面 Ax+By+Cz=0的距离：
d=|A*x0+B*y0+C*z0|/(A^2+B^2+C^2)