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在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,2acosC+2ccosA=a+c.(Ⅰ)若sinAsinB=34,求cb的值;(Ⅱ)若C=2π3,且c-a=8,求△ABC的面积S.

题目详情
在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,2acosC+2ccosA=a+c.
(Ⅰ)若
sinA
sinB
=
3
4
,求
c
b
的值;
(Ⅱ)若C=
3
,且c-a=8,求△ABC的面积S.
▼优质解答
答案和解析
∵2acosC+2ccosA=a+c
由正弦定理:2sinAcosC+2sinCcosA=sinA+sinC
∴sinA+sinC=2sin(A+C)=2sin(π-B)=2sinB
∴a+c=2b…①.
(Ⅰ)∵
sinA
sinB
=
3
4

a
b
=
3
4
…②.
由①②得:
c
b
=
5
4

(Ⅱ)∵c-a=8,a+c=2b.
∴b=a+4,c=a+8,
C=
3

由余弦定理得:(a+8)2=a2+(a+4)2-2a•(a+4)cos
3

解得:a=6.
∴b=10.
故得△ABC的面积S=
1
2
absinC=
1
2
×6×10×
3
2
=15
3