在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，2acosC+2ccosA=a+c．（Ⅰ）若sinAsinB=34，求cb的值；（Ⅱ）若C=2π3，且c-a=8，求△ABC的面积S．

Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，2acosC+2ccosA=a+c．
（Ⅰ）若(sinA)/(sinB)=(3)/(4)，求(c)/(b)的值；
（Ⅱ）若C=(2π)/(3)，且c-a=8，求△ABC的面积S．

Answer 1

∵2acosC+2ccosA=a+c
由正弦定理：2sinAcosC+2sinCcosA=sinA+sinC
∴sinA+sinC=2sin（A+C）=2sin（π-B）=2sinB
∴a+c=2b…①．
（Ⅰ）∵(sinA)/(sinB)=(3)/(4)，
∴(a)/(b)=(3)/(4)…②．
由①②得：(c)/(b)=(5)/(4)．
（Ⅱ）∵c-a=8，a+c=2b．
∴b=a+4，c=a+8，
∵C=(2π)/(3)
由余弦定理得：(a+8)2=a2+(a+4)2-2a•(a+4)cos(2π)/(3)，
解得：a=6．
∴b=10．
故得△ABC的面积S=(1)/(2)absinC=(1)/(2)×6×10×(√(3))/(2)=15√(3)．