将函数f(x)＝arctan1+x1−x展为x的幂级数．

Question

将函数f(x)＝arctan(1+x)/(1−x)展为x的幂级数．

Answer 1

因为：
f′（x）=(1)/(1+((1+x)/(1−x))2)•((1−x)+(1+x))/((1−x)2)=(1)/(1+x2)=

∞

n＝0

(−x2)n=

∞

n＝0

(−1)nx2n，-1＜x＜1，
所以：
f（x）=

∫

x 0

f′(t)dt=

∫

x 0

 

∞

n＝0

(−1)nt2ndt=

∞

n＝0

(−1)n

∫

x 0

t2ndt=

∞

n＝0

((−1)n)/(2n+1)x2n+1，-1＜x＜1．